二叉搜索树定义

一颗二叉搜索树是以二叉树来组织的,每个节点除了 Key 还包括 左孩子, 右孩子, 父节点 等信息. BST满足限制条件: 对于任意节点的X,他的 左子树中关键字最大值<=X.key , 右子树关键字最小值>=X.key 这个关系表示如下
二叉
根据上图定义,一个二叉搜索树的例子是

二叉树操作

  • 查询
  • 插入
  • 删除

查询(搜索)

二叉树搜索采用递归的方式来进行查询,根据二叉搜索树的定义: 左子树存储小值, 右子树存储大值,一个完整的二叉搜索示意图如下

可以写成 伪代码

TREE-SEARCH(x, k)
  if x == NULL  or k == x.key
    return x  
  if k < x.key
    return TREE-SEARCH(x.left)
  if k > x.key
    return TREE-SEARCH(x.right)

转换成python代码

def _get(self, key, node):
        if node is None:
            return None

        if key < node.key:
            return self._get(key, node.left)
        elif key > node.key:
            return self._get(key, node.right)
        else:
            return node.val
def get(self, key):
        """
        Return the value paired with 'key'

        Worst Case Complexity: O(N)

        Balanced Tree Complexity: O(lg N)
        """
        return self._get(key, self.root)

插入

插入和删除比查询呢稍微复杂一些,因为该操作会引起二叉搜索树的大小变化,会改变动态集合的结构.插入呢又比删除稍微容易实现.插入分为两部

  • 查询插入节点
  • 改变目标节点附近的数据结构

插入过程示意图如下

相应的伪代码如下, 输入节点 z , z.key = v, z.left = NULL, z.right = NULL.

TREE-INSERT(T, x)
  y = NULL
  x = T.root   # 从根节点开始
  while x != NULL
    y = x      # 保存上一节点
    if z.key < x.key # 往左
      x = x.left
    else             # 往右
      x = x.right

  z.p = y        # 父节点
  if y == NULL   # tree T 为空
    T.root = z
  else if z.key < y.key
    y.left = z
  else y.right = z

程序的运行复杂度取决于二叉树的形状

插入的运行时间取决于二叉搜索树的_高度h_,程序的运行时间_O(h)_ ,所以二叉树形状的好坏直接影响算法的运行时间.

python代码实现为

def _put(self, key, val, node):

        # If we hit the end of a branch, create a new node
        if node is None:
            return Node(key, val)

        # Follow left branch
        if key < node.key:
            node.left = self._put(key, val, node.left)
        # Follow right branch
        elif key > node.key:
            node.right = self._put(key, val, node.right)
        # Overwrite value
        else:
            node.val = val

        node.size_of_subtree = self._size(node.left) + self._size(node.right)+1
        return node
def put(self, key, val):
          """
        Add a new key-value pair.

        Worst Case Complexity: O(N)

        Balanced Tree Complexity: O(lg N)
        """
        self.root = self._put(key, val, self.root)

删除

删除总共分为三种情况:

  • 如果删除节点x没有孩子,直接删除即可;

  • 如果删除节点x有1个孩子,用孩子替换该节点位置;

  • 如果删除节点x有2个孩子, 这个情况有些复杂.关键是要找到节点 x的继承者 . 节点z的继承者在节点z的右子树中有最小的关键值.这种情况下的操作分为下面步骤:

    1. 输入待删除的节点x 和 二叉搜索树T.
    2. 在节点x的右子树开始搜索:往右再往左找到最小值节点H;
    3. H右孩子为H的父节点, H的左孩子为X的左孩子;

示意图如下,应该一目了然:

根据上面的描述,删除的伪代码可以分为两部分:

  1. 为了移动子树, 用一棵子树替换一棵子树,并成为双亲的孩子节点.
TRANSPLANT(T, u, v)
if u.p == NULL
T.root = v
else if u = u.p.left
u.p.left = v
else u.p.right = v

if v!= NULL
v.p = u.p
  1. 根据第一步完成二叉搜索树的删除过程:
TREE-DELETE(T, z)
if z.left = NULL
TRANSPLANT(T, z, z.right)
else if (z.right == NULL)
TRANSPLANT(T, z, z.left)
else
y = TREE-MINIMUM(z.right)
if y.p != z
TRANSPLANT(T, y, y.right)
y.right = z.right
y.right.p = y
TRANSPLANT(T, z, y)
y.left = z.left
y.left.p = y

用python 实现如下:

def _delete(self, key, node):
 if node is None:
     return None
 if key < node.key:
     node.left = self._delete(key, node.left)
 elif key > node.key:
     node.right = self._delete(key, node.right)

 else:
     if node.right is None:
         return node.left
     elif node.left is None:
         return node.right
     else:
         old_node = node
         node = self._ceiling_node(key, node.right)
         node.right = self._delete_min(old_node.right)
         node.left = old_node.left
 node.size_of_subtree = self._size(node.left) + self._size(node.right)+1
 return node
def _delete_min(self, node):
 if node.left is None:
     return node.right

 node.left = self._delete_min(node.left)
 node.size_of_subtree = self._size(node.left) + self._size(node.right)+1
 return node
def _ceiling_node(self, key, node):
 """
 Returns the node with the smallest key that is greater than or equal to
 the given value 'key'
 """
 if node is None:
     return None

 if key < node.key:
     # Ceiling is either in left subtree or is this node
     attempt_in_left = self._ceiling_node(key, node.left)
     if attempt_in_left is None:
         return node
     else:
         return attempt_in_left
 elif key > node.key:
     # Ceiling must be in right subtree
     return self._ceiling_node(key, node.right)
 else:
     # Keys are equal so ceiling is node with this key
     return node

参考文献

  1. «算法导论第三版»
  2. http://algs4.cs.princeton.edu/32bst/