强化学习随机策略之高斯似然数原理与代码实现

一、原理介绍

使用随机策略有两个关键点

从策略当中进行采样，获得动作 $a$ (Action)
计算特定动作的似然数 $\log \pi _ { \theta } ( a | s )$

什么是多元高斯分布？

在多元高斯分布中，当协方差矩阵 $\Sigma$ 只有在对角元素非零，而其余元素为 0 时，成为对角高斯分布。多元高斯分布（Multivariate Gaussian Distribution）是一元高斯分布的在向量形式上的推广，其中向量 $X = \left[ X _ { 1 } , X _ { 2 } , \ldots , X _ { n } \right] ^ { T }$ 的均值为 $\mu \in \mathbf { R } ^ { n }$ ，协方差矩阵为 $\Sigma \in S ^ { n }$ ，概率密度函数表示为

$$p ( x ; \mu , \Sigma ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } | \Sigma | ^ { 1 / 2 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( x - \mu ) ^ { T } \Sigma ^ { - 1 } ( x - \mu ) \right)$$

例如二元高斯多元分布可以如图所示

对于一对随机变量 $X$ 和 $Y$ ，它们的协方差矩阵写作

$$\operatorname { Cov } [ X , Y ] = E [ ( X - E [ X ] ) ( Y - E [ Y ] ) ] = E [ X Y ] - E [ X ] E [ Y ]$$

对于多个变量的问题，用协方差矩阵 $\Sigma \in S ^ { n }$ 来表示各个变量之间的相关性，有

$$\Sigma = E \left[ ( X - \mu ) ( X - \mu ) ^ { T } \right] = E \left[ X X ^ { T } \right] - \mu \mu ^ { T }$$

对角多元高斯分布

特殊地，当 N 个随机变量 $X = \left[ X _ { 1 } , X _ { 2 } , \ldots , X _ { n } \right] ^ { T }$ 为各自独立的高斯随机变量时，协方差矩阵为对角阵，即

$$\Sigma = \operatorname { diag } \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } , \sigma _ { 2 } ^ { 2 } , \ldots , \sigma _ { n } ^ { 2 } \right)$$

对角高斯策略 Diagonal Gaussian Policies

由于标准差的公式 $\sigma = \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( x _ { i } - \mu \right) ^ { 2 } }$ 可知 $\sigma$ 始终大于等于 0 ，对标准差取 log 对数，可以将标准差映射到 $( - \infty , \infty )$，这样更有利于神经网络的训练。

采样：假设已知动作(Action) 的均值 $\mu _ { \theta } ( s )$ 和标准差 $\sigma _ { \theta } ( s )$ ，引入服从 $( z \sim \mathcal { N } ( 0 , I ) )$ 分布的噪声 $z$ ，下一步的动作采样表示为 $$a = \mu _ { \theta } ( s ) + \sigma _ { \theta } ( s ) \odot z$$ 其中 $\odot$ 表示两个向量之间的内积。
似然数：当均值为 $\mu = \mu _ { \theta } ( s )$ ，标准差为 $\sigma = \sigma _ { \theta } ( s )$ 的 $k-$维的动作 $a$ 的似然数表示为 $$\log \pi _ { \theta } ( a | s ) = - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \frac { \left( a _ { i } - \mu _ { i } \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + 2 \log \sigma _ { i } \right) + k \log 2 \pi \right)$$

二、代码实现

要求

输入: 样本 x，对角高斯分布的均值和标准差
输出：样本 x 的似然数

import tensorflow as tf
import numpy as np
EPS = 1e-8

根据上一节，似然数公式，理解公式后就很容易写出代码

# my solution
def my_gaussian_likelihood(x, mu, log_std):
    """
    Args:
        x: Tensor with shape [batch, dim]
        mu: Tensor with shape [batch, dim]
        log_std: Tensor with shape [batch, dim] or [dim]
    Returns:
        Tensor with shape [batch]
    """
    #######################
    #                     #
    #   YOUR CODE HERE    #
    #                     #
    #######################
    std = tf.exp(log_std)
    ans = ((x - mu) / std)**2 + 2 * log_std + np.log(2 * np.pi)
    ans = -0.5 * ans
    # https://www.tensorflow.org/api_docs/python/tf/math/reduce_sum
    sum_ans = tf.reduce_sum(ans, axis=1)
    return sum_ans

# standard solution
# 代码来自 spinup/exercises/problem_set_1_solutions/exercise1_2_soln.py
def ans_gaussian_likelihood(x, mu, log_std):
    pre_sum = -0.5 * (((x-mu)/(tf.exp(log_std)+EPS))**2 + 2*log_std + np.log(2*np.pi))
    return tf.reduce_sum(pre_sum, axis=1)

if __name__ == '__main__':
    """
    Run this file to verify your solution.
    """

    sess = tf.Session()

    dim = 10
    x = tf.placeholder(tf.float32, shape=(None, dim))
    mu = tf.placeholder(tf.float32, shape=(None, dim))
    log_std = tf.placeholder(tf.float32, shape=(dim,))

    your_gaussian_likelihood = my_gaussian_likelihood(x, mu, log_std)
    true_gaussian_likelihood = ans_gaussian_likelihood(x, mu, log_std)

    batch_size = 32
    feed_dict = {x: np.random.rand(batch_size, dim),
                 mu: np.random.rand(batch_size, dim),
                 log_std: np.random.rand(dim)}

    your_result, true_result = sess.run([your_gaussian_likelihood, true_gaussian_likelihood],
                                        feed_dict=feed_dict)

    correct = np.allclose(your_result, true_result)
    
    print("Your answer is", correct)

Your answer is True